Đẳng Cấu Là Gì

Một phần của tài liệu ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN (Trang 29 -30 )


Bạn đang xem: đẳng cấu là gì

32. Giả sử W và X là hai không gian vectơ con của không gian vectơ hữu hạn chiều V Chứng

2.2.4. Đẳng cấu Định nghĩa:

Định nghĩa:

a) Một đồng cấu giữa các K- không gian vectơ được gọi là một đẳng cấu nếu nó là toàn cấu và

đơn cấu.

Như vậy, đồng cấu :f V→W giữa các K- không gian vectơ là đẳng cấu khi và chỉ khi nó là một song ánh. Khi đó f có ánh xạ ngược f−1 và dễ thấy f−1:W V

→ cũng là một đẳng cấu.

b) Hai K- không gian vectơ gọi là đẳng cấu nếu có một đẳng cấu từ không gian này lên không gian kia.

Dễ thấy quan hệ đẳng cấu giữa các K- không gian vectơ là một quan hệ tương đương.

Định lý: Hai K- không gian vectơ hữu hạn chiều đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số

chiều.

Chứng minh:

Nếu V và W đẳng cấu thì có đẳng cấu :f V →W . Vì f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu nên hạng f vừa bằng dimV vừa bằng dimW. Từ đó suy ra dimV = dimW.

Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n. Lấy ( ), ( ),

α

i

β

i i=1,...n là hai cơ sở tương ứng của V và W

và gọi :f V →W là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f( )

α

i =

β

i,i=1,...n thì dễ thấy hạng f = n = dimV = dimW nên f là đẳng cấu. Từ đó suy ra V và W đẳng cấu.

Xem thêm: Nghệ Thuật Quân Sự Là Gì - Bài 7 Nghệ Thuật Quân Sự Việt Nam

Ví dụ:

Giả sử V là một K- không gian vectơ n chiều. Gọi

α

i,i=1,...n là một cơ sở của V,

ε

i,i=1,...n là một cơ sở chính tắc của Kn. Khi đó ánh xạ tuyến tính f V: →Kn xác định bởi

( )i i, 1,...f

α

=

ε

i= n là đẳng cấu. Nếu 1ni iix==

∑

α α thì f( ) ( ,..., )

α

= x1 xn

Định lý: Giả sử f V: →W là một đồng cấu giữa các K- không gian vectơ. Khi đó

: / Kerf , < > ( )

f V →W α ֏ α là một đơn cấu và nó gây ra một đẳng cấu từ V/ Kerf lên Imf.

Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh ánh xạ f như trên là xác định. Nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc chọn đại diện α của lớp tương đương <α> thuộc V/ Kerf. Thật vậy, nếu <α>=<α’> thì α ∈Kerf, tức (f α α− ) 0= hay f(α)=f(α’).

Bây giờ chỉ còn phải chứng minh f là đơn cấu. Giả sử (< >)f α = f(< >)β . Khi đó ( )f α = f( )β , hay (f α β− ) 0= . Từ đó suy ra α β− ∈Kerf hay < >=< >α β . Vậy f đơn cấu và do đó nó gây ra đẳng cấu từ V/Kerf lên Imf.

Hệ quả: Với giả thiết nhưởđịnh lý trên và khi V hữu hạn chiều thì dim V = dim Kerf + dim Imf

Xem thêm: 5 Cách Chống Phân Mảnh Ổ Đĩa Là Gì ? Hướng Dẫn Cách Chống Phân Mảnh Ổ Cứng

Một phần của tài liệu ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1 (2TC) DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN (Trang 29 -30 )