Chéo hóa ma trận là gì

  -  
Chuyển đổi dữ liệu21.04.2018Kích47.15 Kb.

Bạn đang xem: Chéo hóa ma trận là gì

Навигация по данной странице:
Câu 1: Chéo hóa ma trận A sau nếu có thể:
*
Tính
*
Giải
Ta có
*
*
*Với
*
,xét hệ phương trình:
*

Xét ma trận:

*

Hệ phương trình có VSN phụ thuộc 2 tham số:

*
(
*
)

+ chọn

*
ta được
*
là 1 VTR

+ chọn

*
ta được
*
là 1VTR

*Với

*
xét hệ phương trình:

*
*

Hệ phương trình có VSN phụ thuộc 1 tham số:

*

Chọn t=3 ta được

*
là 1 VTR


Vậy ma trận A chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch P và ma trận dường chéo D lần lượt là:
*
*
Tính Ta có
*

Lại có

*

Câu 2:
Mọi ma trận vuông A thỏa mãn đều đồng dạng với ma trận chéo. Từ đó rút ra tính chéo hóa được đối với một ma trận lũy đẳng. Cho ví dụ minh họa. Giải Giả sử A là ma trận vuông cấp n trên k khi đó ma trận A thỏa mãn điều kiện Ta gọi ma trận A là ma trận lũy đẳng.

Ngoài ra, ta có mối quan hệ giữa ma trận lũy đẳng A cấp n trên k với ma trận đường chéo B cùng cấp n .Ma trận A đều đồng dạng với ma chéo B

Kí hiệu: A~B.

Thật vậy ,ma trận A và B là 2 ma trận cùng cấp n trên k .Đồng dạng với nhau ,nghĩa là tồn tại 1 ma trận vuông C cấp n trên k khả nghịch sao cho A=.

Mặt khác ta có

*
Bài tập ví dụ Cho ma trận A có dạng

A =

Ta có ,ma trận A thõa mãn điều kiện A=

Thật vậy,

==.

Ta có A= là ma trận lũy đẳng.

Do A là ma trận lũy đẳng nên tồn tại 1 ma trận chéo B~A

Ta có :A=

Ta có đa thức đặc trưng của ma trận A là :=.

Từ đó ta có đa thức cực tiểu của A là

A=.

Do A là nghiệm của

*
nên ta có :

*

Vậy

*
với K
*

Mà A= nên =

Từ đó ta thấy ma trận lũy đẳng luôn chéo hóa được.

Câu 3:
Tìm ma trận Jordan đồng dạng với ma trận sau:
*
Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc, hỏi dạng toàn phương này có xác định dương không?
*
Giải
Ta đưa MT A về dạng chính tắc:
*
*

Ma trận chuẩn tắc:

*

*
ma trận đồng dạng
*

Ma trận W trong cơ sở chính tắc là:
*

Các định thức con chính của W là:

*
*
*
*

Dạng chính tắc của W là:

*
Câu 4:

Cho f là dạng song tuyến tính trên

*
xác định bởi

*
Tìm ma trận A của f trong cơ sở
*
Tìm ma trận B của f trong cơ sở
*
Chỉ rõ mối quan hệ của ma trận A và ma trận B. Giải
Ma trận A trong cơ sở của
*
là:
*

Với

*

*
Ma trận B trong cơ sở
*
là:
*

Với

*

*
Xét ma trận B ta có:
*
*

Giả sử ta có ma trận B’ tùy ý trong cơ sở bất kỳ sao cho detB 0

*
*

Vậy: mọi ma trận bất kì có det 0 đều đồng dạng với ma trận A

*Chứng minh:

Giả sử ta có

*
với
*

*

Đặt:

*

*
*
Câu 5:
Trình bày tiêu chuẩn Sylvester, cho ví dụ minh họa (khác với ví dụ đã trình bày trong tài liệu)Ứng dụng tiêu chuẩn Sylvester xét dấu của dạng toàn phương sau:
*
Giải.

Xem thêm: Bring Into Là Gì - Phân Biệt Bring In Và Bring About Trong Tiếng Anh

Tiêu chuẩn Sylvester: giả sử f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng và
*
là cơ sở của
*
. Khi đó, dạng toàn phương f(x,x) là xác định dương khi và chỉ khi
*
VD: cho dạng toàn phương sau:
*
*

Từ đó hãy xác định các chỉ số quán tính của Q. Q có xác định dương hay không?

Giải

Ta có:

*

Xét phép biến đổi

*

Lúc đó Q có dạng chính tắc

*

Lại biến đổi.

*

Ta nhận được dạng chuẩn tắc của q:

*

Như vậy, q có chỉ số dương quán tính là s=3, chỉ số âm quán tính là t=0.

Dùng tiêu chuẩn Sylvester kiểm tra tính xác định dương của dạng toàn phương:

Ma trận của q trong cơ sở chính tắc là:

*

Các định thức con chính của A là:

*
*
*

Vậy q xác định dương.

Ma trận của W trong cơ sở chính tắc là:
*

Các định thức con chính là:

*
*
*

Vậy W xác định dương.

PHƯƠNG PHÁP JACOBI
Giả sử đã biết biểu thức của dạng toàn phương Q(u) trong cơ sở E= (e1, e2, en):
*
,

với

*
.

Khi đó A=(aij) là ma trận của Q(u).

Xét các định thức con chính của A:

*
. (4)

Đặt thêm.

Nếu tất cả các định thức con đều khác 0:

*
(5)

thì tồn tại một phương pháp, gọi là Phương pháp Jacobi, để tìm một cơ sở E’=(e’1,e’2,…, e’n) sao cho trong đó dạng toàn phương Q(u) có dạng chính tắc sau đây:

(6)

Trong đó

*
.

Với giả thiết (5), ta đi tìm các hệ số

*
R sao cho
*
(7)

Để Q(u) có dạng chính tắc trong E’, ta chỉ cần đòi hỏi với mọi k (

*
) thì

*
(8)

Khi đó, do tính đối xứng của dạng song tuyến tính

*
nên

*

Nhận xét rằng, điều kiện (8) sẽ được thỏa nếu

*
(9)

Thật vậy, từ (7) và (9) suy ra

*

Để đơn giản hơn trong việc tính toán, ta thêm điều kiện

*
(10)(điều này cũng chứng minh cho việc tại sao những phương trình cuối cùng trong hệ phương trình đều bằng 1)

Với k=1, ta có

*
.

Xem thêm: Nhảy Audition - Game 2U Trên Zing

Suy ra

*

Tiếp theo, ta tìm các hệ số

*
của hàng thứ k trong (7) bằng quy nạp theo k. Giả sử đã tìm được tất cả các hệ số của k-1 hàng đầu tiên của (7). Để tìm các hệ số của hàng thứ k, ta viết gộp các điều kiện (9) và (10) thành:

*
(11)

Từ đây, sử dụng (7), ta nhận thấy các hệ số

*
, thỏa mãn hệ phương trình sau:

*
(12)

Ma trận hệ số của hpt (12) có định thức bằng

*
do giả thiết (5). Vì vậy ta tìm được các số
*
. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng phép bien1 đổi (7) là không suy biến để từ đó suy ra
*
đúng là một cơ sở của V. áp dụng công thức Cramer cho (12), tìm được:

*
(13)

Gọi D là định thức của phép biến đổi (7). Khi đó

*

Vậy (7) không suy biến.

Cuối cùng ta phải xác định các hệ số của dạng toàn phương Q(u) trong cơ sở E’. Do cách xây dựng E’ nên

*
. Do đó ta chỉ còn cần phải tìm các hệ số dạng
*
. Sử dụng (7), (11), (13), tìm được:
*

Vậy, trong cơ sở mới E’ ta có

(trich Đại Số Tuyến Tính -Bùi Xuân Hải tr.285-288) Jacobi tuy đơn giản & cho phép ta xác định được các hệ số trong dang chính tắc nhưng không phải lúc nào cũng áp dụng được.
Каталог:
file -> viewview -> Đã và đang có nhiều tranh luận quanh những tác động về mặt môi trường và kt-xh của các cttl ở BĐCMview -> Unit Plan Templateview -> Sở giáo dục và ĐÀo tạO ĐỒng nai